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Les harmoniques chez les instruments à cordes

 

Partie 1

 

Le phénomène physique

 

 

     Chez les instruments à cordes, le son est obtenu par excitation de la corde (pincement, frottement d'un archet...). Un son dit harmonique peut être produit lorsqu'en addition de cette excitation, un effleurement est appliqué à certains endroits précis de la corde. Le timbre qui en résulte est différent du fondamental, d'où son intérêt musical.

 

La fréquence du fondamental

 

 

Le fondamental correspond au son obtenu par une excitation simple de la corde. Elle peut être libre dans toute sa longueur (« corde à vide »), ou divisée en un point de façon franche (par un doigt, un capodastre...), l'excitation ne se propage alors que sur une partie de la corde.

 

Le fondamental est considéré comme l'harmonique de rang 1.

 

 

La fréquence fondamentale F du signal (en Hertz, Hz) dépend :

  • de la masse linéique µ de la corde (en kilogrammes par mètre, kg/m)

  • de la tension T de la corde (en newtons, N)

  • de la longueur vibrante L de la corde (en mètres, M)

 

 

 

 

Nous pouvons établir le rapport suivant entre des longueurs de cordes l1 et l2 et leurs fréquences respectives f1 et f2 :

 

 

 

Ainsi, si le musicien place son doigt au tiers d'une corde de longueur L, la vibration se restreint alors aux deux tiers restants de la corde (longueur 2 l3) et la fréquence f3 du fondamental devient :

 

 

 

Un rapport de fréquences de 3/2 correspond à un écart d'une quinte, donc f3 se situe une quinte plus haute que F.

 

L'harmonique de rang 2

 

En effleurant la corde à la moitié de sa longueur, nous obtenons la création d'un nœud à cet emplacement :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La fréquence f2 de l'harmonique de rang 2 dépend de la longueur l2 :

 

 

 

Un rapport de fréquence du simple au double correspond à une octave, donc l'harmonique de rang 2 est situé une octave au-dessus du fondamental.

 

Les harmoniques de rang n

 

Le musiciens place à nouveau son doigt au tiers de la corde, mais uniquement en l'effleurant cette fois-ci. Deux nœuds se créent, et la corde est alors divisée en trois zones vibrantes de longueur l3 = l1 / 3 :

 

 

 

 

 

 

 

La fréquence f3 de l'harmonique de rang 3 est alors :

 

 

 

Le rapport de fréquence n'est plus de 3/2 comme lorsque le musicien appuyait franchement sur la corde mais de 3, ce qui correspond à un intervalle de douzième.

 

 

De la même façon, le musicien peut créer des nœuds en appuyant sur des divisions entières de la corde (moitié, tiers et deux tiers, quart et trois quarts, cinquième, deux cinquièmes etc...).

De façon générale, la fréquence d'un harmonique de rang n par rapport au fondamental F est :

 

 

 

Le rang de l'harmonique correspond donc directement au rapport de fréquence avec le fondamental.

 

 

Les notes de la gamme à tempérament égal - que nous utilisons très majoritairement dans la musique occidentale - nous viennent des harmoniques et du cycle des quintes qui en est induit (pour faire court, car l'origine des gammes et des tempéraments est aussi longue que passionnante). Cependant, afin d'obtenir le même espace entre chaque demi-ton, il a fallu s'écarter plus ou moins de la hauteur produite naturellement par les harmoniques.

 

Ce tableau indique l'intervalle entre le fondamental et les harmoniques, en précisant l'écart entre l'harmonique et la note de la gamme à tempérament égal la plus proche.

 

Pour des raisons de justesse en tempérament égal, il est déconseillé d'utiliser les harmoniques de rang 5, 7, 10 et 11. Dans le cas d'une écriture en tempérament juste, seul l'harmonique de rang 11 est à éviter.

 

Les fréquences du fondamental et des harmoniques en fonction de la position

du doigt

 

Comme nous avons pu le remarquer, pour un emplacement donné sur la corde, si le musicien appuie franchement ou s'il l'effleure, le phénomène physique et le son perçu peuvent être complètement différents.

 

 

 

 

 

 

  • les ondes en traits continus noirs correspondent au son harmonique dans le cas où le musicien effleure la corde

  • les ondes en traits pointillés rouges correspondent au son fondamental dans le cas où le musicien appuie franchement sur la corde

 

Dans le cas où                 avec L la longueur totale de la corde, ln la partie séparée non excitée et n un entier, nous obtenons :

  • pour les harmoniques :

     

     

  • pour le fondamental :

 

 

  • ce qui nous permet d'avoir le rapport :

     

 

Pour les premières divisions, nous obtenons alors :